MDPs

马尔可夫性
- 只要知道现在，将来和过去条件独立
- 每一时刻的状态只与上一时刻的状态有关
- 当前状态包含了所有的历史状态信息
- 要求环境全观测
任务类型定义
- 强化学习中,从初始状态$S_{1}$到终止状态的序列过程,被称为一个片段(episode)。
  - 如果一个任务总以终止状态结束,那么这个任务被称为片段任务(episodic task)
  - 如果一个任务会没有终止状态,会被无限执行下去,这被称为连续性任务 (continuing task)
- 终止状态等价于自身转移概率为 1,奖励为 0 的的状态
状态转移矩阵

上图中$s1$转换到$s1$的概率是0.5，转换到s3的概率是0.5；s2转换到s1的概率是0.1，转换到s2的概率是0.2，转换到s3的概率是0.3，转换到s4的概率是0.4。

奖励与回报
- 奖励值:对每一个状态的评价
- 回报值: 对每一个片段的评价
  - 对于片断性任务，回报值是未来有限个状态的奖励值的和$G_{t}=\sum_{k=0}^{T-t-1}\gamma ^{k}R_{t+k+1}$
  - 对于连续性任务，回报值是未来无限个状态的奖励值的和$G_{t}=\sum_{k=0}^{\infty }\gamma ^{k}R_{t+k+1}$
  - 回报值是从时间$t$处开始的累计衰减奖励
- 指数衰减值
  - 对未来的把握也是逐渐衰减的
  - 一般情况下,我们更关注短时间的反馈
- 值函数:某个状态所对应回报值的期望
贝尔曼方程
- 强化学习的核心
- $$v(s)=R(s)+\gamma \sum_{s’}^{ }P_{s{s}’}v({s}’)$$
策略
- 状态值函数($v_{\pi }(s)$)：是从状态$s$开始，使用策略$\pi$得到的期望回报值
- 状态动作值函数($q_{\pi }(s,a)$)：是从状态$s$开始,执行动作$a$，然后使用策略$\pi$得到的期望回报值
- $$v_{\pi }(s)=\sum \pi (a|s)q_{\pi }(s,a)$$
- $$q_{\pi }(s,a)=R(s,a)+\gamma \sum_{s’\in S}^{ }P_{s{s}’}^{a}v_{\pi }(s)$$
知识点
- 贝尔曼最优方程不是线性的
- 一般很难有闭式的解
- 可以使用迭代优化的方法去解
  - 值迭代
  - 策略迭代
  - Q 学习
  - SARSA

POMDP